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【2026年度冠模試】一橋大オープンに学ぶ数学の解法
こんにちは。医塾の神田です。
河合塾の第２回一橋大オープンを受験した生徒から問題を見せてもらったところ、数学の問題のクオリティが良かったので記事にしました！
整数問題では、例えばユークリッドの互除法のような、数学Aの範囲の問題集にも単元としてある性質や、フェルマーの小定理に代表される「受験でも登場するからよく知っておいてね」といった性質でない、累乗の性質に関する証明問題が出題されていました。また、文字を設定して適切な条件を加えていくような、数学の解き方の王道をいくような問題もありました。
ぜひこの模試を受験された受験生の皆さんは、復習して、解説の内容ではない数学の感覚をこの記事から吸収してほしいと考えています！
大問1（整数問題)
整式の割り算について
これを知っていれば「次数下げ」が楽に行えます。また整数問題を解く際に、「（累乗された数）−１」で割ったときの余りを楽に求めることができる性質であるので、覚えておきましょう。
128(=27)を15(=24−1)で割った余りは8(=23)128(=27)を15(=24−1)で割った余りは8(=23)
このように使用していくことができます。これを使用して解く問題が(2)で出題されていました。上の例では128という累乗された数で考えましたが、129(=128+1)や、138(=128+10)で余りを考えられるようになると良いですね。前者の余りは「9」で、後者の余りは「3」ですね。特に後者は、8+10を15で割った余りを考えることになります。これが「整式」と「整数」の割った余りの性質の違いですので、押さえておいてください。
※整式の剰余については以下のようになります；
xn+1をxm−1で割った余りはxr+1xn+1をxm−1で割った余りはxr+1
xn+10をxm−1で割った余りはxr+10xn+10をxm−1で割った余りはxr+10
このように、整式においては割った余りは商によらず、定数部分は余りへ加算されることになるため、整数の剰余とは異なります。
＜解答方針＞
xn−xrがxmで割り切れることxn−xrがxmで割り切れること
を示すことがいいかと考えています。剰余の問題については「余りを引いて考えて割り切れることを示す」が一番わかりやすい解き方です。
大問3（領域)
文字の設定を行い、解に関する条件を立てる
この問題は最終的に点Rの存在範囲を求める問題ではありますが、文字の設定の仕方が参考になる非常に良い問題です。
＜解答方針＞
①P,Qはx軸上の点なので、1文字ずつおく（仮にP(s,0),Q(t,0)とする)。
②求める点の存在範囲は座標でおくべきなので、R(X,Y)とおく。
③Rのx座標X、y座標Yを、s,tを用いて表す（外心の性質を利用する）
③までを計算すると以下のようになります；
X=s+t4 , Y=−14st+14 (s>0,t>0,s≠t)X=4s+t , Y=−41st+41 (s>0,t>0,s=t)
上記の条件でどのように条件式を立てていくべきでしょうか？
もう一度、この問題を解く上での難関が立ちはだかります。この問題を解く際に重要なこととしては「対称式の変形」「実数条件」「解の配置」です。
・「対称式の変形」対称式は、基本対称式で表すことができる。
・「実数条件」s,tが（今回のように、異なる数で考えると）異なる2つの実数となるにとることができるX,Yの条件は、s,tが解である2次方程式について、判別式D>0である。s=tとなる実数のとき、D=0である。
・「解の配置」x=s,tについてy=0となる関数y=f(x)について、f(x)=0の判別式D、y=f(x)の軸、端点のy座標f(0)の３要素を考える
こういった着眼点に気づくことができると解答力は向上します。受験生の皆さんはラストスパートですね！
□問題の難易度
大問４、５を完答したい問題で、大問４、５が平易な問題、大問２が標準的な問題です。大問１、３が今回難しい問題でしょう。
経済学部や商学部、ソーシャル・データサイエンス学部など数学の配点が高めの学部は大問１、３を部分点狙いで書いていき、大問１は（２）まで、大問３は上記X,Yの関係式までを最低限書きたい問題です。大問１の（３）の中で登場する「整数解の個数」は自由度が高そうに見えるとても難しい問題ですが、倍数から絞る方法を押さえておきましょう。
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